Giải tích - Hàm nhiều biến, tích phân bội và tích phân đường
Chú ý: Bạn phải tiến hành đăng nhập để làm đề thi này.
Tạo đề thi, làm bài thi, theo dõi kết quả ngay trên điện thoại — mọi lúc mọi nơi!
Tải trên Google Play Tải trên App StoreNội dung đề thi: Giải tích - Hàm nhiều biến, tích phân bội và tích phân đường
Xem trước 25/70 câu hỏi trong đề. Bấm Vào thi để làm bài trực tuyến, được chấm điểm và xem đáp án chi tiết.
Câu 1. Tập xác định của hàm số \( z = \ln(1 - x^2 - y^2) \) là:
- A. Hình tròn \( x^2 + y^2 \le 1 \)
- B. Miền trong đường tròn \( x^2 + y^2 < 1 \)
- C. Miền ngoài đường tròn \( x^2 + y^2 > 1 \)
- D. Toàn bộ mặt phẳng \( \mathbb{R}^2 \)
Câu 2. Cho hàm số \( z = x^2 y^3 + e^{2x+y} \). Đạo hàm riêng \( z'_x \) tại (0,0) bằng:
- A. 0
- B. 1
- C. 2
- D. 3
Câu 3. Đạo hàm riêng \( z'_y \) của hàm số \( z = \arctan(y/x) \) là:
- A. \( x / (x^2 + y^2) \)
- B. \( -y / (x^2 + y^2) \)
- C. \( 1 / (1 + (y/x)^2) \)
- D. \( x^2 / (x^2 + y^2) \)
Câu 4. Vi phân toàn phần dz của hàm số \( z = x^2 + 3xy - y^2 \) tại điểm M(1, 2) là:
- A. \( dz = 8dx - dy \)
- B. \( dz = 8dx + dy \)
- C. \( dz = 2dx - 2dy \)
- D. \( dz = 5dx + dy \)
Câu 5. Cho hàm \( z = f(x,y) \) có đạo hàm riêng liên tục đến cấp 2. Nếu tại điểm dừng \( M_0 \) có \( AC - B^2 > 0 \) và \( A < 0 \) thì:
- A. \( M_0 \) là điểm cực tiểu
- B. \( M_0 \) là điểm cực đại
- C. \( M_0 \) không là điểm cực trị
- D. Chưa kết luận được
Câu 6. Cho ẩn hàm z(x,y) xác định từ \( x^2 + y^2 + z^2 - 3xyz = 0 \). Đạo hàm \( z'_x \) bằng:
- A. \( (3yz - 2x) / (2z - 3xy) \)
- B. \( (2x - 3yz) / (2z - 3xy) \)
- C. \( (3xy - 2z) / (2x - 3yz) \)
- D. \( (2x + 3yz) / (2z + 3xy) \)
Câu 7. Điểm dừng của hàm số \( z = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 \) là:
- A. (1, 2)
- B. (−1, −2)
- C. (2, 1)
- D. (0, 0)
Câu 8. Giá trị cực tiểu của hàm số \( z = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 \) bằng:
- A. 0
- B. 1
- C. 5
- D. −1
Câu 9. Cho \( u = \ln(x^2 + y^2 + z^2) \). Gradiên grad u tại (1, 0, 0) là:
- A. (2, 0, 0)
- B. (1, 0, 0)
- C. (0, 2, 0)
- D. (2, 2, 2)
Câu 10. Đạo hàm riêng hỗn hợp \( z''_{xy} \) của hàm số \( z = x^3 \sin y + y^2 e^x \) là:
- A. \( 3x^2 \cos y + 2y e^x \)
- B. \( 3x^2 \sin y + 2y e^x \)
- C. \( x^3 \cos y + 2y e^x \)
- D. \( 3x^2 \cos y + y^2 e^x \)
Câu 11. Cho \( z = f(x,y) \) có đạo hàm riêng liên tục. Nếu \( AC - B^2 < 0 \) tại điểm dừng \( M_0 \) thì:
- A. \( M_0 \) là điểm cực đại
- B. \( M_0 \) là điểm cực tiểu
- C. \( M_0 \) không phải là điểm cực trị (điểm yên ngựa)
- D. Chưa kết luận được
Câu 12. Vi phân cấp 2 \( d^2z \) của \( z = x^3 + y^3 \) tại M(1,1) là:
- A. \( 6dx^2 + 6dy^2 \)
- B. \( 6dx^2 + 12dxdy + 6dy^2 \)
- C. \( 3dx^2 + 3dy^2 \)
- D. \( 6dxdy \)
Câu 13. Tính tích phân kép \( I = \iint_D x \, dxdy \) với \( D = [0, 1] \times [0, 2] \):
- A. 1
- B. 2
- C. 1/2
- D. 4
Câu 14. Tính \( I = \iint_D (x + y) \, dxdy \) với D: \( 0 \le x \le 1, 0 \le y \le x \):
- A. 1/2
- B. 1/3
- C. 1/4
- D. 1
Câu 15. Trong tọa độ cực \( (r, \varphi) \), định thức Jacobian J của phép đổi biến \( x = r \cos\varphi, y = r \sin\varphi \) là:
- A. \( r \)
- B. \( r^2 \)
- C. 1
- D. \( r \sin\varphi \)
Câu 16. Chuyển tích phân \( I = \iint_D f(x,y) \, dxdy \) sang tọa độ cực với D: \( x^2 + y^2 \le 4 \):
- A. \( \int_0^{2\pi} d\varphi \int_0^2 f(r \cos\varphi, r \sin\varphi) \, r \, dr \)
- B. \( \int_0^{\pi} d\varphi \int_0^2 f(r \cos\varphi, r \sin\varphi) \, dr \)
- C. \( \int_0^{2\pi} d\varphi \int_0^4 f(r \cos\varphi, r \sin\varphi) \, r \, dr \)
- D. \( \int_0^{2\pi} d\varphi \int_0^2 f(r, \varphi) \, dr \)
Câu 17. Tính diện tích miền D giới hạn bởi \( x^2 + y^2 \le 9 \):
- A. \( 9\pi \)
- B. \( 3\pi \)
- C. \( 81\pi \)
- D. \( 18\pi \)
Câu 18. Tính tích phân kép \( I = \iint_D e^{x^2 + y^2} \, dxdy \) với D: \( x^2 + y^2 \le 1 \):
- A. \( \pi(e - 1) \)
- B. \( 2\pi(e - 1) \)
- C. \( \pi e \)
- D. \( \pi(e + 1) \)
Câu 19. Trong tọa độ cầu \( (r, \theta, \varphi) \), định thức Jacobian J bằng:
- A. \( r^2 \sin\theta \)
- B. \( r \sin\theta \)
- C. \( r^2 \cos\theta \)
- D. \( r \)
Câu 20. Thể tích khối trụ giới hạn bởi \( z = 0, z = 4 \) và \( x^2 + y^2 \le 1 \) là:
- A. \( 4\pi \)
- B. \( 2\pi \)
- C. \( 8\pi \)
- D. \( \pi \)
Câu 21. Thể tích khối cầu \( x^2 + y^2 + z^2 \le 9 \) bằng:
- A. \( 36\pi \)
- B. \( 108\pi \)
- C. \( 27\pi \)
- D. \( 12\pi \)
Câu 22. Tính tích phân bội ba \( I = \iiint_V dxdydz \) với \( V = [0,1] \times [0,2] \times [0,3] \):
- A. 6
- B. 5
- C. 1
- D. 12
Câu 23. Cho miền D đối xứng qua Oy. Nếu f(x,y) là hàm lẻ theo x (\( f(-x,y) = -f(x,y) \)) thì \( \iint_D f(x,y) \, dxdy \) bằng:
- A. 0
- B. \( 2 \iint_{D_1} f(x,y) \, dxdy \)
- C. 1
- D. Không xác định được
Câu 24. Giá trị trung bình của \( f(x,y) = xy \) trên miền \( D = [0,2] \times [0,2] \) là:
- A. 1
- B. 2
- C. 4
- D. 1/2
Câu 25. Khẳng định nào ĐÚNG về Tích phân đường loại 1 \( \int_C f(x,y) \, ds \)?
- A. Phụ thuộc vào chiều đi của đường cong C
- B. Không phụ thuộc vào chiều đi của đường cong C
- C. Luôn luôn bằng 0
- D. Chỉ tính được trên đường cong kín
… và còn 45 câu nữa. Bấm Vào thi phía trên để làm toàn bộ 70 câu và xem đáp án.
